横浜サイエンスフロンティア中学受験生のみなさん、こんにちは。
横浜サイエンスフロンティア中学受験対策セミナーです。
今日は、フィボナッチ数列がなぜ、長年注目され続けるのか、その大きな理由についてまとめました。
フィボナッチ数列は中学受験はもちろん、高校受験・大学受験でも頻繁に出題されます。
フィボナッチ数列と身近な数列の比較はこちら【フィボナッチ数列】。
フィボナッチ数列を利用した中学受験の問題の例はこちら【フィボナッチ数列②】。
世界中で愛され続けたフィボナッチ数列
フィボナッチ数列は、今から８００年以上も前に数学者によってヨーロッパで初めて本になりました。
それから８００年以上経ち、様々な数列が発見されたことと思います。
しかし、フィボナッチ数列ほど有名で、数学者に愛され、そして受験問題としても愛された数列を、私は他に知りません。
「等差数列」や「階差数列」はジャンルの名前ですが、フィボナッチ数列はひとつの数列にすぎません。
これは、フィボナッチ数列が他の数列にはない魅力を持っているからにほかなりません。
その魅力とは一体何か。
今の数字÷となりの数字
フィボナッチ数列が長年注目される理由は、” 比率 ” です。
ここでは、隣同士の数字の比率をみていきましょう。
【フィボナッチ数列】
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ・・・
隣同士の数字の割り算をしてみましょう。
1÷1=1
1÷2=0.5
2÷3=0.6666・・・
3÷5=0.6
5÷8=0.625
8÷13=0.6153・・・
13÷21=0.6190・・・
21÷34=0.6176・・・
34÷55=0.6181・・・
55÷89=0.6179・・・
ある段階から、小数第２位までが0.61で固定されていますね。
他の数列で試してみると、このことがいかに特別なことかわかると思います。
【等差数列】
1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31・・・
1÷4=0.25
4÷7=0.5714・・・
7÷10=0.7
10÷13=0.7692・・・
13÷16=0.8125
16÷19=0.8421・・・
19÷22=0.8636・・・
22÷25=0.88
25÷28=0.8928・・・
28÷31=0.9032・・・
少しずつ増えていますが、１０回目の操作でもまだ一定の数字に近づきません。
【階差数列】
1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105
1÷3=0.3333・・・
3÷6=0.5
6÷10=0.6
10÷15=0.6666・・・
15÷21=0.7142・・・
21÷28=0.75
28÷36=0.7777・・・
36÷45=0.8
45÷55=0.8181・・・
55÷66=0.8333・・・
これも等差数列と同様で、まだ一定の値にはなりません。
【等比数列】
3,6,12,24,48,96,192,384,768,1536
3÷6=0.5
6÷12=0.5
12÷24=0.5
24÷48=0.5
48÷96=0.5
96÷192=0.5
192÷384=0.5
384÷768=0.5
768÷1536=0.5
今度は逆に、１回目の割り算からずっと同じ数字になってしまいました。
比率が等しい、と書いて等比数列なのですから当たり前ですね。
つまり、比率をとったときに、” 最初はバラバラの数字なのに、ある時点から急に一定の数字に近づいていくこと “
これがフィボナッチ数列の大きな特徴といえます。
では、この特徴は、フィボナッチ数列のどの部分に由来するのでしょうか。
フィボナッチ数列は、 ” はじめが１,1 ” で、あとは ” 前２つの数を足していく “ 数列でした。
そこで、はじめの数を違う数字にしたフィボナッチ数列を作って、実験してみたいと思います。
【変形フィボナッチ数列】
4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,521
このように確かめてみることを、「仮説検証」といい、理科の問題として多くの受験校で出題されています。
しかし、仮説検証は理科に限った話ではないので、今回のように算数にも使えますし、果ては社会や国語においてもいつ出題されてもおかしくありません。
中学受験生はどの科目においても、仮説検証の視点を持つことが重要です。
では確認してみましょう。
4÷7=0.5714・・・
7÷11=0.6363・・・
11÷18=0.61111・・・
18÷29=0.6206・・・
29÷47=0.6170・・・
47÷76=0.6184・・・
76÷123=0.6178・・・
123÷199=0.6180・・・
199÷322=0.6180・・・
322÷521=0.6180・・・
と、変形フィボナッチ数列においても、ある一定の数字に近づくことがわかりました。
しかも今回は小数第４位までが0.6180と同じ数字です。
最初の数字を変えても同じ性質がみられたので、
フィボナッチ数列は ” 前２つの数を足していく ” ことに由来して ” 比率が0.6180になる “ 数列であるといえそうです。
この0.6180という数字は黄金比と呼ばれ、ひとが最も美しいと感じる比率として知られています。
そのため様々なデザインにも取り入れられています。
さらに、フィボナッチ数列と全く関係のない、正五角形の中にも0.6180が出てくることが知られています。
それについては長くなるので、また次回にします。
とにかく、隣同士の比率がある一定の値に急速に近づくことは、滅多に起こらない、非常にまれな出来事なんだ
と感じてみてください。
さぁ、しっかり対策を行い、
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